Teorema de Beatty

En matemática, el teorema de Beatty señala la condición necesaria y suficiente para que dos sucesiones pseudo-aritméticas sean una partición de $\mathbb {N} ^{*}$. Fue publicado en 1926 por el matemático canadiense Samuel Beatty, profesor de la Universidad de Toronto.​ Otra demostración de este teorema se publicó en 1927 por A.Ostrowski (Basilea) y A. C. Aitken (Chicago).​​

Enunciado

Afirma la equivalencia de las dos declaraciones siguientes :

• Los números p y q son positivos, irracionales y verifican ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$
• Las dos secuencias de enteros $P=(E(np))_{n\in \mathbb {N} ^{*}}$ y $Q=(E(nq))_{n\in \mathbb {N} ^{*}}$ forman una partición del conjunto $\mathbb {N} ^{*}$

en donde la función E designa la función parte entera. El resultado no es generalizable (engañosamente): no es posible hacer una partición de

$\mathbb {N} ^{*}$ con más de tres sucesiones pseudo-aritméticas.

Demostración

Sean p y q dos reales estrictamente positivos, tales que las sucesiones P y Q formen una partición de $\mathbb {N} ^{*}$ El resultado se vuelve intuitivo si se introduce la densidad de una parte A de $\mathbb {N} ^{*}$, es el límite - si existe - cuando n tiende a $+\infty$ de ${\frac {{\textrm {card}}A\cap \{1,\dots ,n\}}{n}}$. Por ejemplo, el conjunto de números pares (o el conjunto de números impares) tiene una densidad que es de 1/2, el conjunto de números primos tiene una densidad de 0. Se ve fácilmente que los conjuntos $\{E(n\alpha ),n\in \mathbb {N} ^{*}\}$ donde $\alpha$ es un real positivo tienen densidad ${\frac {1}{\alpha }}$. Los soportes de las secuencias P y Q forman una partición de $\mathbb {N} ^{*}$, luego la suma de sus densidades vale 1 : ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$ Además, p y q no pueden ser racionales los dos, dado que si por caso $p={\frac {a_{1}}{b_{1}}},q={\frac {a_{2}}{b_{2}}}$, entonces $E(b_{1}a_{2}p)=E(b_{2}a_{1}q)(=a_{1}a_{2})$. Las sucesiones P y Q no tienen ningún elemento en común. Una de las dos es irracional, por consiguiente las dos son irracionales (pues $p^{-1}+q^{-1}=1$). Recíprocamente, si p et q son irracionales y $p^{-1}+q^{-1}=1$, se prueba por absurdo que los soportes de las sucesiones P y Q son disjuntas. Sea k un entero que se escribe bajo la forma $k=E(np)=E(mq)$. Por definición de parte entera, se tienen las inecuaciones siguientes : $k\leq np<k+1{\mbox{ y }}k\leq mq<k+1$ Si se divide la primera inecuación por p, y la segunda por q : ${\frac {k}{p}}\leq n<{\frac {k}{p}}+{\frac {1}{p}}{\mbox{ y }}{\frac {k}{q}}\leq m<{\frac {k}{q}}+{\frac {1}{q}}$ Sumando las dos inecuaciones, se obtiene : $k\leq n+m<k+1$ k, n y m siendo enteros, esto imlica $k=n+m$; se sigue forzosamente la igualdad entre las dos inecuaciones precedentes. Entonces k = np y k = mq. Lo cual es absurdo dado que p y q son irracionales. Ahora se demuestra que todo entero natural no nulo es alcanzado por una de las dos sucesiones. Sea $n\geq 1$ y k = E(np). k es alcanzado por la sucesión P, entonces no por la sucesión Q, existe un único entero m tal que : $E(mq)<k<E((m+1)q)$. De hecho, el entero E(mq) es el entero más grande de la sucesión Q inferior a k. Las aplicaciones $r\mapsto E(rp)$ y $r\mapsto E(rq)$ son inyectivas dado que p y q son mayores que 1. El intervalo $\{1,\dots ,k\}$ contiene entonces $m+n$ elementos de sucesiones P y Q (dado que ambas sucesiones tienen soportes disjuntos). Para concluir, es suficiente con probar que k = n + m. Se tiene : ${\frac {k}{p}}\leq n<{\frac {k+1}{p}}{\mbox{ et }}{\frac {k}{q}}-1<m<{\frac {k+1}{q}}$ Sumando, se sigue que k - 1 < n + m < k + 1, o bien k = n + m. QED.

Ejemplo

Uno de los primeros ejemplos conocidos descubierto en 1907 por el matemático holandés Wythoff, independiente del teorema de Beatty. Para $\phi$ el número de oro, se tiene que :

${\frac {1}{\phi }}+{\frac {1}{\phi ^{2}}}=1\,.$

Las dos sucesiones obtenidas serán entonces :

• $E(n\phi )$, n>0 : 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 27, 29, ... (sucesión A000201 en OEIS)
• $E(n\phi ^{2})$, n>0 : 2, 5, 7, 10, 13, 15, 18, 20, 23, 26, 28, 31, 34, 36, 39, 41, 44, 47, ... (sucesión A001950 en OEIS)

Las parejas $(E(n\phi ),E(n\phi ^{2}))$ aparecen en la resolución del juego de Wythoff, y caracterizan las posiciones a partir de las cuales el jugador marcado no puede ganar.

Bibliografía en francés

• Exercices de mathématiques, oraux X-ENS. Algèbre 1. Serge Francinou, Hervé Gianella, Serge Nicolas. Éditions Cassini.

• Datos: Q791663